Разворот по кратчайшей и длинной траектории. Разворот по малому радиусу разрешили, а вы знали? На перекрестках с конструктивной разделительной полосой не два пересечения проезжих частей, а одно

Представьте, что у вас есть точка, одна маленькая точка на листе бумаги. Какой самый быстрый способ перейти от этой точки к другой точке на листе бумаги? Вы вздыхаете и отвечаете «Прямой», потому что это совершенно очевидно; это знают даже первоклассники. Теперь давайте представим, что у вас есть открытая автостоянка с человеком, стоящим в ней. Каков самый быстрый способ для человека добраться от одной стороны автостоянки до другой? Ответ снова очевиден вам, поэтому вы немного раздражаетесь и наполовину кричите «Прямолинейный снова, ду!».

Заявление Владимира Кузина

Ладно, ладно, достаточно подбросить вопросы. Вы не можете сказать прямую линию, потому что, если автомобиль не обращен прямо к парковочному пространству? Автомобили не просто скользят горизонтально, а затем поворачиваются на место, поэтому планирование для них кажется намного сложнее, чем для человека. Мы можем сделать планирование для автомобиля примерно таким же простым, как для человека, если мы рассматриваем автомобиль как особый тип автомобиля, который мы будем называть автомобилем Дубина.

В робототехнике мы рассмотрим нашего человека из приведенного выше примера как тип голономного агента. Голономный агент можно просто считать агентом, которым мы полностью контролируем. Люди могут включить копейки, идти прямо вперед, бок-шаг, ходить назад и т.д. они действительно имеют полный контроль над своими координатами. Однако автомобиль не голономен, потому что мы не имеем полного контроля над ним в любое время. Поэтому мы называем автомобиль видом неголономного агента.

Автомобили могут поворачиваться только вокруг некоторого круга с минимальным радиусом, поэтому они не могут двигаться прямо к точке только чуть левее или вправо. Как вы можете себе представить, пути планирования для неголономных агентов намного сложнее, чем для голономных. Давайте упростим нашу модель нашего автомобиля. Как об этом: он может двигаться только вперед - никогда не назад, и он всегда движется с единичной скоростью, поэтому нам не нужно беспокоиться о торможении или ускорении. Что делает автомобиль Дубина привлекательным, так это то, что его кратчайшие пути могут быть решены точно с использованием относительно простой геометрии, тогда как планирование для многих других динамических систем требует некоторых довольно высоких уровней и сложных матричных операций.

Автомобиль Дубина движется вперед, а не назад, даже если разворот ведет к более короткому пути. Автомобиль Дубина был введен в литературу Лестером Дубинсом, известным математиком и статистиком, в газете, опубликованной в «Автомобили», по сути, есть только 3 элемента управления: «повернуть налево на максимум», «повернуть направо на максимум» и «пойти прямо»,, Все пути, прослеженные автомобилем Дубина, - это комбинации этих трех элементов управления.

И если вы по крайней мере похожи на меня, вы, как правило, забываете какую-то геометрию, которую вы изучили в старшей школе, поэтому эти вычисления не так «тривиальны» для вас, как все остальные онлайн-источники. Если вы ищете фактические вычисления, необходимые для вычисления этих кратчайших путей, то вы попали в нужное место. Следующей будет моя самая длинная статья на сегодняшний день, и в основном представляет собой руководство по вычислению геометрии, необходимой для кратчайших путей Дубина.

Давайте сначала поговорим о динамике нашей системы, а затем опишем в общих чертах, как выглядят кратчайшие пути. У автомобилей-подобных роботов есть одна общая черта - они имеют минимальный радиус поворота. Подумайте об этом минимальном радиусе поворота, как о круге рядом с автомобилем, который, как бы ни старался, робот может обходить окружность круга только в том случае, если он становится настолько сильным, насколько это возможно. Радиус этого круга - минимальный радиус поворота автомобиля. Этот радиус определяется физикой автомобиля максимальным углом, который шины могут отклоняться от «вперед», и колесной базой автомобиля, или длиной от передней оси до задней оси.

У Марко Монстера действительно хорошая описательная статья, в которой рассказывается об этой динамике автомобилей. Опишем динамику автомобиля более формально. Конфигурация автомобиля может быть описана триплетом. Определите скорость автомобиля как. Когда автомобиль движется со скоростью около круга радиуса, он будет иметь угловую скорость. Теперь давайте определим, как наша система эволюционирует с течением времени. Если вы знаете даже основы основ дифференциальных уравнений, это будет торт для вас.

В базовой векторной математике, если наш автомобиль находится в положении с, и мы движемся прямо вперед на один временной интервал, тогда наша новая конфигурация - Обратите внимание, как изменяется наша координата. Полное описание системы будет выглядеть следующим образом.

На самом деле это не так; автомобили - нелинейные системы. Поэтому описанная выше динамика представляет собой просто приближение истинной динамики системы. Линейные системы намного легче обрабатывать, и если мы все сделаем правильно, они могут настолько хорошо аппроксимировать истинную динамику, что вы никогда не сможете отличить эту ситуацию. Уравнения динамики хорошо переводятся в уравнения обновления. Эти уравнения обновления описывают, что на самом деле происходит каждый раз, когда вы хотите обновить конфигурацию автомобиля.

То есть, если вы переходите через ваш симулятор, каждый таймплей вы хотите обновить автомобиль. Поскольку автомобиль Дубина имеет только единичную скорость, мы заменим все экземпляры. Каждый раз, когда мы обновляем, мы перемещаем автомобиль вдоль линии. Если мы только сдвинем очень короткую сумму на этой линии, то мы приближаем повороты более точно. Подумайте об этом так: вы пытаетесь нарисовать круг, используя серию равномерно расположенных точек. Если вы используете только 3 очка, вы получите треугольник.

Высокоуровневое описание кривых Дубина

Если вы используете 4, вы получаете квадрат, а 8 вы получаете восьмиугольник. По мере того, как вы добавляете все больше и больше очков, вы получаете что-то более близкое к кругу. Это та же концепция. по сути, говорит нам о величине интервала между нашими точками. Если он действительно маленький, то точки близко друг к другу, и мы получаем общее движение, которое ближе к реальности. Выберите позицию и ориентацию для ваших начальных и целевых конфигураций. Нарисуйте свои конфигурации старта и цели как точки в плоскости со стрелками, проходящими в направлении, в котором смотрит автомобиль.

Затем нарисуйте круги слева и справа от автомобиля с радиусом. Кружки должны касаться места расположения автомобиля. Нарисуйте касательные линии от кругов в исходной конфигурации до окружностей в конфигурации цели. Точки, в которых линия касается кругов, являются точками, которые агент должен пройти, чтобы завершить свою траекторию.

Поэтому решение этих траекторий в основном сводится к правильному вычислению этих касательных. Третий круг, который мы поворачиваем, по-прежнему касается касаний агента и цели, но эти касательные точки не совпадают с таковыми по касательным линиям. Поэтому решение этих траекторий сводится к правильному вычислению местоположения этой третьей касательной окружности.

Метод 1: Геометрически вычисляющие касательные

Дано: два круга и с радиусами и соответственно. Постройте круг, центрированный в середине радиуса. Рисунок. Сегменты и имеют величину. Нас интересует угол. даст нам угол, который вектор должен будет вращаться до точки в том же направлении, что и вектор.

Получаем полный оборот вокруг оси, так как, таким образом, уравнение получается путем прохождения на расстояние. Поскольку мы знаем, мы теперь можем фактически вычислить. Это может быть немного злоупотребление обозначением, чтобы добавить вектор к точке, но когда мы добавляем компоненты точки к компонентам вектора, мы получаем нашу новую точку, и все работает.

Теперь, когда мы имеем, мы можем нарисовать вектор от, как показано на рисунке. Мы можем воспользоваться его величиной и направлением, чтобы найти внутреннюю касательную точку. Учитывая, что мы уже рассчитали, получив свою связанную касательную точку, так же просто.

Надеюсь, это достаточно ясно, чтобы вы могли вычислить другую внутреннюю касательную точку. Хитрость заключается в том, чтобы использовать «нижнюю» точку пересечения между и, а затем все то же самое нужно делать, а также определять другую внутреннюю касательную.

На перекрестках с конструктивной разделительной полосой не два пересечения проезжих частей, а одно

Построение внешних касательных очень похоже на построение внутренних касательных. Учитывая те же два круга и, что и раньше, и считая, что помните, как мы начали с центрирования с радиусом? На этот раз мы построим его немного по-другому. центрируется по-прежнему, но на этот раз имеет радиус.

Выполните шаги, которые мы выполнили для внутренних касательных точек, построив их в средней точке точно так же, как и раньше. Найдите пересечение между ними и получите как можно раньше. После того, как мы прошли все этапы, как раньше, до момента, когда мы получили, мы можем получить первую внешнюю касательную точку, пройдя расстояние так же, как и раньше. Чтобы получить, касающуюся касательной точки, мы выполняем дополнение. Это точно так же, как и раньше. По сути, единственный способ, который изменяется между вычислением внешних касательных относительно внутренних касательных, - это то, как он строится; все остальные шаги остаются точно такими же.

Метод 2: векторный подход

Мы не работали по примеру в предыдущем разделе ни для чего - нам нужно было подойти к шагу 7, чтобы вы могли иметь некоторую интуицию относительно того, почему работает следующий векторный метод. Нарисуйте круги и как прежде. Это имеет значение по-прежнему. Нарисуйте вектор между касательными точками. Мы позвоним. В общем случае радиусы и не будут эквивалентны, но для нас это будет. Этот метод работает для обоих случаев.

Настройка для вычисления тангенса с помощью векторного метода. Рассмотрим некоторые отношения между этими векторами. Точечный продукт между и равен 0, потому что векторы перпендикулярны. потому что это единичный вектор. Мы можем легко модифицировать вектор, чтобы он был достаточно простым путем вычитания.